Verhalten im Unendlichen: E-Funktion / Wurzel

Das Verhalten im Unendlichen für E-Funktionen und Wurzelfunktionen sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

• Eine Erklärung, was man unter dem Verhalten im Unendlichen versteht.
• Beispiele für die Berechnung dieser Grenzwerte.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zum Verhalten im Unendlichen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Wir sehen uns hier das Verhalten im Unendlichen für Wurzelfunktionen und E-Funktionen an. Wer dies etwas allgemeiner benötigt, sieht in die Übersicht rein unter Verhalten im Unendlichen.

Wurzel / Wurzelfunktion im Unendlichen

Was versteht man unter der Untersuchung von E-Funktionen und Wurzelfunktionen im Unendlichen?

Beispiel 1: Wurzel im Unendlichen

Die Wurzel aus 4x geteilt durch x - 2 soll für das Verhalten im Unendlichen für positive Zahlen untersucht werden. Da es sich um eine Wurzel handelt, prüfen wir kurz den Definitionsbereich. Da eine Wurzel nicht negativ werden darf und auch nicht durch 0 geteilt werden darf, muss x > 2 sein.

Für die Berechnung wandeln wir den Bruch unter der Wurzel um, indem wir jeden Ausdruck durch x teilen. Wird jetzt beim Bruch 2 : x eine sehr große positive Zahl für x eingesetzt, geht der Bruch gegen Null. Es bleibt 4 : 1, also 4 unter der Wurzel stehen.

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E-Funktion im Unendlichen

Sehen wir uns noch das Verhalten im Unendlichen für Funktionen an, bei denen die eulersche Zahl e vorkommt, also eine E-Funktion. Untersucht werden soll 2x geteilt durch e^x. Starten wir mit der Untersuchung für x gegen plus unendlich. Dabei ist das e eine feste Zahl, die hier im Folgenden einmal eingesetzt wird. Das x steht im Nenner im Exponenten während es im Zähler nur in der Basis vorkommt. Dadurch wächst der Nenner bei großen x viel schneller als der Zähler. Da der Nenner schneller wächst als der Zähler wird die Gesamtzahl immer kleiner, sprich geht gegen 0.

Tipp: Wer dies nicht glaubt setzt einmal x = 10, x = 100 oder gar x = 1000 ein. Der Bruch wird immer kleiner.

In der nächsten Berechnung sehen wir uns diese E-Funktion gegen minus unendlich an. Setzt man für x eine negative Zahl ein, wird der Zähler negativ. Im Nenner erhalten wir e hoch eine negative Zahl. Je negativer das x hier wird, desto kleiner wird die Potenz. Bei Zahlen immer weiter im negativen Bereich wird damit der Zähler immer negativer (-100, -200, -500 etc.) während die Zahl im Nenner gegen Null langsam läuft. Daher läuft der Bruch immer weiter gegen minus unendlich.

Aufgaben / Übungen Verhalten im Unendlichen

Aufgabe 1:

• Wie sieht das Verhalten der folgenden Funktion gegen plus unendlich aus?

• minus unendlich
• plus unendlich
• kein Grenzwert
• 0

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Video Verhalten im Unendlichen

Fragen mit Antworten: Verhalten im Unendlichen E-Funktion / Wurzel