Punktsymmetrie zum Ursprung

Mit der Punktsymmetrie zum Ursprung (Fortsetzung: Punktsymmetrie zu beliebigem Punkt) befassen wir uns hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wie man Punktsymmetrie zum Ursprung erkennt.
• Beispiele wie man diese Art der Symmetrie berechnet.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zur Symmetrie von Funktionen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Es ist hilfreich wenn ihr bereits wisst wie man eine Funktion zeichnet.

Erklärung Punktsymmetrie zum Ursprung

In der Oberstufe steht in Mathematik die Kurvendiskussion auf dem Plan. Ein Teil der Kurvendiskussion ist die Untersuchung auf Punktsymmetrie. Dabei unterscheidet man zwei typische Untersuchungen:

• Punktsymmetrie zum Ursprung
• Punktsymmetrie zu einem bestimmten Punkt

Bitte nicht falsch verstehen: Man kann noch weitere Dinge in der Symmetrie untersuchen. Aber diese beiden Punkte werden sehr oft betrachtet. Wir starten hier mit der Punktsymmetrie zum Ursprung.

Was ist der Ursprung? Dazu nehmen wir uns ein x-y-Koordinatensystem. Im Zentrum davon - also bei x = 0 und y = 0 - zeichnen wir einen roten Punkt ein. Jeden Punkt der Funktion können wir an diesem roten Punkt nun spiegeln und landen auf der anderen Seite ebenfalls wieder auf dem Funktionsgraphen.

Wie bekommt man heraus, ob eine Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung ist? Die Gleichung bzw. "Formel" um dies zu testen ist diese hier:

Wie wendet man diese Regel zur Punktsymmetrie in Bezug auf den Ursprung an? Dazu ein Beispiel im nächsten Abschnitt.

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Beispiel Punktsymmetrie zum Ursprung

Sehen wir uns ein Beispiel zur Punktsymmetrie zum Ursprung an.

Beispiel 1: Symmetrie zum Ursprung

Ist die folgende Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung?

Lösung:

Die erste Möglichkeit besteht darin die Funktion zu zeichnen. Wie man dem Funktionsgraphen ansehen kann, müsste diese Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung sein.

Aber ist dies wirklich so? Dazu prüfen wir noch einmal durch eine Rechnung, ob dies stimmt. Wir nehmen uns dazu die Regel von weiter oben:

Wie wir sehen können brauchen wir zunächst f(-x). Dazu ersetzen wir in der Funktion jedes x durch -x. Achtet dabei auch darauf die Klammer zu setzen, dann das Vorzeichen muss beim hoch 3 ebenfalls berücksichtigt werden.

Außerdem benötigen wir -f(x). Dazu nehmen wir f(x) und setzen einfach vor allem ein Minuszeichen. Dabei muss f(x) in eine Klammer und davor das Minuszeichen. Dies führt beim Auflösen der Klammer dazu das sich alle Vorzeichen umdrehen. Wer dies nicht versteht wirft einen Blick in Gleichungen mit Klammer rein. Im Anschluss müssen wir nur noch prüfen ob f(-x) gleich -f(x) ist.

Wie wir sehen können ist f(-x) gleich -f(x). Dies bedeutet, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Punktsymmetrie Aufgaben / Übungen

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen bekommt ihr bei uns zunächst einige Verständnis- und Wissensfragen zur Punktsymmetrie.

• Es geht um Punktsymmetrie zum Ursprung. Welche Koordinaten hat dieser Ursprung?

• x = -1; y = -1
• x = 0; y = 0
• x = 1; y = 1
• x = 10; y = 10

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Symmetrie von Funktionen

Fragen mit Antworten Punktsymmetrie