Produktregel Ableitung

Die Produktregel für Ableitungen lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was die Produktregel ist.
• Beispiele wie man diese Ableitungsregel anwendet.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zu Ableitungsregeln.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt unterschiedliche Ableitungsregeln um Funktionen oder Gleichungen abzuleiten. Bevor ihr euch die Produktregel hier anseht, solltet ihr die Grundlagen der Ableitung kennen sowie die Potenzregel.

Produktregel Erklärung

Es gibt verschiedene Regeln in der Mathematik um Funktionen bzw. Gleichungen abzuleiten. Eine dieser Ableitungsregeln ist die Produktregel.

Beispiel 1: Mit Produktregel ableiten

Die nächste Gleichung soll mit der Produktregel abgeleitet werden. Wie lautet die Ableitung?

Lösung:

Die Funktion (Gleichung) ist ein Produkt aus zwei Faktoren, daher unterteilen wir diese in u und v. Mit der Potenzregel leiten wir beide Teile ab und erhalten dadurch u' und v'. Wir nehmen die allgemeine Gleichung für die Ableitung von weiter oben und setzen u, u', v und v' ein. Um die Berechnung nicht zu sehr in die Länge zu ziehen, wurde am Ende auf die Vereinfachung verzichtet.

Tipp: Alles was eingesetzt wird mit Klammern einsetzen. Denn schließlich muss der komplette Ausdruck multipliziert werden.

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Produktregel Beispiele

In diesem Abschnitt sehen wir uns weitere Beispiele zur Produktregel an, auch in Kombination mit anderen Ableitungsregeln.

Beispiel 2: Produktregel, Kettenregel und E-Funktion

Die folgende Funkion soll abgeleitet werden. Wie lautet die erste Ableitung?

Lösung:

Wir haben hier ein Produkt aus (t - x) und e^tx. Wir setzen u = t - x und v = et^x. Beides müssen wir ableiten. Da t eine Konstante ist fliegt diese raus bei der Ableitung und aus -x wird -1. Wer dabei noch unsicher ist wirft einen Blick auf die Potenzregel. Für die E-Funktion e^tx benötigen wir jetzt nicht die Produktregel, sondern die Kettenregel. Dazu leiten wir den Exponenten ab und erhalten für die Ableitung des Exponenten einfach nur t. Dies wird multipliziert mit e^tx. Durch diese Berechnungen erhalten wir u' = -1 und v' = t·e^tx. Im Anschluss nehmen wir die allgemeine Gleichung für Ableitungen und setzen u, u', v und v' ein.

Beispiel 3: Dreifache Produktregel mit E-Funktion

In diesem Beispiel kommt neben einer E-Funktion noch ein Sinus vor und eine Potenz. Wie lautet die erste Ableitung?

Lösung:

Es gibt auch die dreifache Produktregel. Diese setzt man ein, wenn man nicht nur ein Produkt hat, sondern gleich zwei Multiplikationen vorkommen. Wir haben drei Faktoren. Dazu unterteilen wir die Funktion in drei Teile mit u, v und w. Für die Ableitung von 5x³ wird die Potenzregel benötigt. Die Ableitung von sinx ist einfach cosx und die E-Funktion e^x abgeleitet bleibt e^x. Im Anschluss nehmen wir die dreifache Produktregel (Siehe im Rechenweg unten) und setzen alles ein.

Aufgaben / Übungen Produktregel

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen kurz eine Frage:

• Wozu dient die Produktregel?

• Pythagoras Berechnung
• Prioritätsregel
• Hyperverteilung umkehren
• Ableitung von Produkten

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Video Produktregel

Fragen mit Antworten Produktregel