Bruch Ableitung

Wie ihr die Ableitung von einem Bruch findet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wie man Brüche ableitet.
• Beispiele wie man die Quotientenregel anwendet.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zum Brüche ableiten.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt unterschiedliche Regeln um Funktionen abzuleiten. Bevor ihr euch die Ableitung von Brüchen anseht, solltet ihr die Potenzregel und die Produktregel kennen.

Bruch ableiten Erklärung

Die Regel um einen Bruch abzuleiten nennt sich Quotientenregel.

Beispiel 1: Bruch ableiten

Wie lautet die erste Ableitung des folgendes Bruchs? Die Ableitung muss nicht vereinfacht werden.

Lösung:

Wir nehmen den Bruch auseinander. Dabei setzen wir den Zähler u = 3x⁵ und den Nenner v = 10x - 1. Mit der Ableitungsregel Potenzregel leiten wir beides ab. Für den abgeleiteten Zähler erhalten wir u' = 3 · 5x⁴. Im Nenner bleibt nur die 10 übrig. Zuletzt setzen wir u, u', v und v' in die allgemeine Gleichung für die Quotientenregel ein.

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Bruch 2. Ableitung mit Kettenregel

Sehen wir uns zwei weitere Beispiele an.

Beispiel 2: Bruch ableiten plus Kettenregel

Wie lautet die erste Ableitung der nächsten Gleichung? Das Ergebnis soll vereinfacht werden.

Lösung:

Auch in diesem Beispiel unterteilen wir nach Zähler und Nenner. Dabei setzen wir u = 2e^3x und v = x². Die Potenz x² ist mit der Potenzregel recht einfach abzuleiten und bringt uns v' = 2x. Bei 2e^3x muss die Kettenregel für die Ableitung eingesetzt werden. Der Faktor 2 vorne bleibt erhalten. Im Anschluss muss innere Ableitung mal äußere Ableitung für die Kettenregel berechnet werden. Der Exponent (Hochzahl) mit 3x abgeleitet ergibt einfach 3 und e^3x bleibt beim Ableiten erhalten. Alles wird in die allgemeine Gleichung eingesetzt. Die farbigen Markierungen helfen bei der Übersicht.

Die Ableitung des Bruchs haben wir berechnet. Im nächsten Schritt vereinfachen wir die Gleichung noch. Der Zähler lässt sich durch einfache Multiplikationen vereinfachen. Der Nenner ist schon etwas anspruchsvoller. Hier muss bei der Produktbildung von x² · x² beachtet werden, dass die beiden Hochzahlen addiert werden. Wir erhalten als neuen Exponenten 2 + 2 = 4. Wir kürzen x in Zäher und Nenner des Bruchs. Zum Schluss Klammern wir 2e^3x aus.

Beispiel 3: Bruch ableiten, auch 2. Ableitung

Die folgenden Punkte sollen mit dem nächsten Bruch durchgeführt werden:

• Die 1. Ableitung bestimmen.
• Die 1. Ableitung vereinfachen.
• Den letzten Bruch der 1. Ableitung raus suchen.
• Mit diesem Bruch die 2. Ableitung berechnen.

Lösung:

Wir verwenden zunächst die Quotientenregel um die erste Ableitung zu berechnen. Dazu setzen wir den Zähler u = 3x⁸ und den Nenner v = 2x³. Mit der Potenzregel bilden wir jeweils die Ableitung. Dabei reduziert sich jeweils der Exponent um 1. Der ursprüngliche Exponent wird jeweils mit dem Faktor davor multipliziert. In die allgemeine Formel der Quotientenregel werden alle Angaben eingesetzt (Siehe farbige Unterstreichungen). Im Anschluss vereinfachen wir Zähler und Nenner und kürzen.

Hinweis: Es soll die 2. Ableitung mit der Quotientenregel berechnet werden. Selbstverständlich kann f'(x) = 7,5x⁴ auch mit der Potenzregel abgeleitet werden.

Kommen wir zur 2. Ableitung mit der Quotientenregel. Dazu nehmen wir die letzte Variante der ersten Ableitung mit f'(x) = 15x⁴ : 2. Wir setzen u = 15x⁴ und v = 2. Beides leiten wir mit der Potenzregel ab und vereinfachen im Anschluss.

Aufgaben / Übungen Bruch Ableitung

Aufgabe 1:

Starten wir mit einer Frage bevor ihr Funktionen / Gleichungen ableiten sollt:

• Wann setzt man die Quotientenregel ein?

• Ableitung Produkt
• Ableitung Summe
• Ableitung Differenz
• Ableitung Bruch

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Video Bruch Ableitung

Fragen mit Antworten Ableitung Bruch