Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkt

Das Vorzeichenwechselkriterium um einen Extrempunkt zu bestimmen, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was ein Extrempunkt ist.
• Beispiele wie man diese Punkte berechnet.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zu Extrempunkten.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Für die Berechnung von Extrempunkten (Hochpunkte und Tiefpunkt sind dies) werden verschiedenene Regeln der Ableitung benötigt. Insbesondere die Potenzregel als Ableitungsregel ist interessant, jedoch auch weitere Ableitungsregeln.

Extrempunkte Erklärung

In der Mathematik unterscheidet man zwischen Hochpunkten und Tiefpunkten, welche man beide als Extrempunkte bezeichnet. In der nächsten Grafik seht ihr zwei Stellen mit einem Maximum (Hochpunkt) und zwei Stellen mit einem Minimum (Tiefpunkt).

Einen wichtigen Unterschied gibt es zwischen den beiden Hochpunkten (Max) und Tiefpunkten (Min) dennoch. Die beiden Maxima und Minima sind verschieden hoch oder tief. Ist ein Punkt wirklich der höchste Extrempunkt ist es der absolute Hochpunkt und die anderen Hochpunkte bezeichnet man als relative Hochpunkte (oder relative Maxima), da sie nur das Maximum in einem bestimmten Bereich darstellen. Der allertiefste Extrempunkt (Minimum) ist der absolute Tiefpunkt und die anderen sind relative Tiefpunkte (relative Minima).

Extrempunkte berechnen

Es gibt zwei Möglichkeiten die Extrempunkte zu berechnen:

• Das Vorzeichenwechselkriterium
• Zweite Ableitung testen

Wir sehen uns im nächsten Abschnitt das Vorzeichenwechselkriterium an. Wer Hochpunkte und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung berechnen möchte wirft einen Blick in Hochpunkt und Tiefpunkt berechnen.

Anzeige:

Beispiel Vorzeichenwechselkriterium

Sehen wir uns einmal an wie man mit dem Vorzeichenwechselkriterium Extrempunkte berechnet. Da viele Schüler und Schülerinnen bei Zwischenschritten scheitern, soll dies hier einmal sehr ausführlich dargestellt werden.

Beispiel 1: Extrempunkt berechnen

Wo liegen Hochpunkt und Tiefpunkt - also die Extrempunkte - bei der nächsten Funktion?

Lösung:

Für das Bilden der ersten Ableitung nutzen wir die Potenzregel. Die erste Ableitung vereinfachen wir im Anschlus noch.

Im nächsten Schritt setzen wir diese erste Ableitung gleich Null. Wir erhalten eine Gleichung, welche wir mit der PQ-Formel lösen. Dazu lesen wir p = 3 und q = 2 ab und setzen dies in die allgemeine Lösungsformel der PQ-Formel ein. Im Anschluss berechnen wir x₁ = -1 und x₂ = -2.

Wir haben x₁= -1 und x₂ = -2 berechnet. Dies sind die Stellen an denen die Ableitung Null ist. Um herauszufinden, ob es sich dabei um Extrempunkte handelt (und wenn ja welche) müssen wir die Stellen untersuchen. Wir setzen dabei einen "Trick" ein: Wenn es ein Hochpunkt ist müssen wir über einen Berg fahren (also hoch-runter). Ist es ein Tiefpunkt müssten wir ein Tal durchqueren (runter-hoch).

Ob es hoch oder runter geht erkennt man an der Steigung. Die erste Ableitung ist nichts anderes als die Steigung. Beginnen wir mit x = -1. Wir nehmen eine Zahl die kurz vor der -1 und kurz nach der -1 ist. Zum Beispiel x = -1,1 (um etwas weiter links nachsehen) und x = -0,9 (um etwas weiter rechts nachzusehen. Beides setzen wir für x in die erste Ableitung ein).

Die Steigung ist erst negativ (-0,18) und danach positiv (+0,22). Es geht damit erst runter und danach hoch. Es liegt bei x = -1 somit ein Tiefpunkt vor. Der nächste Kandidat für einen Extrempunkt ist x = -2. Auch hier setzen wir eine Zahl links davon ( x = -2,1) ein und eine Zahl rechts davon ( x = -1,9) ein.

Wir sehen nun, dass die Funktion erst steigt (+0,22) und im Anschluss fällt mit -0,18. Das ist ein Hochpunkt. Wir wissen jetzt, dass bei x = -1 ein Tiefpunkt vorliegt und bei x = -2 ein Hochpunkt. Die y-Werte der Punkte kennen wir jedoch noch nicht. Um diese zu berechnen setzen wir diese beiden x-Werte in die Ausgangsfunktion f(x) ein und berechnen jeweils y.

Aufgaben / Übungen Vorzeichenwechselkriterium

Aufgabe 1:

Bevor wir rechnen erst einmal die eine oder andere Frage:

• Wie erkenne ich im Steigungsverhalten einen Hochpunkt?

• Steigung hoch-hoch
• Steigung hoch-runter
• Steigung runter-hoch
• Steigung runter-runter

Weiter zur Lösung » Aufgabe überspringen »

Du hast 0 von 4 Aufgaben erfolgreich gelöst.

Anzeigen:

Video Hoch- und Tiefpunkt

Fragen mit Antworten Vorzeichenwechselkriterium