Wendetangente berechnen und Definition

Was eine Wendetangente ist und wie man sie berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was eine Wendetangente ist.
• Beispiele wie man diese Punkte berechnet.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zur Wendetangente.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Für die Berechnung der Wendetangente ist es hilfreich, wenn ihr bereits wisst, was ein Wendepunkt ist und wie die Ableitungsregeln funktionieren.

Wendetangente Erklärung

Das Thema Wendetangente könnt ihr nur wirklich verstehen, wenn ihr bereits Wendepunkte kennt. Daher werfen wir kurz einen Blick auf Wendepunkte und wie man mit diesen eine Wendetangente berechnet. Fangen wir mit der Definition und einer Grafik dazu an.

Definition Wendetangente:

Der Wendepunkt ist die Stelle an welchem die Funktion ihr Krümmungsverhalten ändert.

Zeichnet man in diesem Punkt die Tangente (Wendetangente) sieht diese so aus:

Das Einzeichnen einer Wendetangente ist sehr ungenau. Daher berechnet man diese. Dazu nimmt man die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion mit y = mx + b und setzt für x und y den Wendepunkt ein und für m die Steigung im Wendepunkt.

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Wendetangente Beispiel

In diesem Abschnitt sehen wir uns ein Beispiel zur Wendetangente an.

Beispiel 1: Wendetangente bestimmen

Wie lautet die Wendetangente dieser Funktion?

Lösung:

Mit der Potenzregel bilden wir die ersten drei Ableitungen der Funktion.

Um den Wendepunkt zu finden, setzen wir die zweite Ableitung der Funktion gleich Null und berechnen x. Dabei nennen wir diese Stelle x im Anschluss x₀, da dies unser Kandidat für einen Wendepunkt ist.

In die dritte Ableitung müssten wir eigentlich x = 1 einsetzen (wie eben berechnet). Da es jedoch kein x in der dritten Ableitung gibt haben wir einfach 6 in dieser Ableitung und dies ist ungleich Null. Daher liegt bei x₀ = 1 ein Wendepunkt vor.

Wir wissen damit, dass bei x = 1 wirklich ein Wendepunkt vorliegt. Uns fehlt noch der y-Wert vom Wendepunkt, daher setzen wir x = 1 in f(x) ein und berechnen y.

Der Wendepunkt liegt bei x = 1 und y = -2.

Wendetangente bestimmen: Sobald der Wendepunkt vorliegt kann mit diesem die Wendetangente berechnet werden. Zuerst benötigen wir die Steigung in diesem Punkt. Die Steigung ist nichts anderes als die erste Ableitung an der Stelle x = 1.

Die Steigung im Wendepunkt haben wir eben mit m = -3 berechnet. Der Wendepunkt liegt bei x = 1 und y = -2. Dies setzen wir in die allgemeine Gleichung einer lineare Funktion mit y = mx + b ein und berechnen damit b. Wir haben damit alle Informationen für die Wendetangente y = -3x + 1.

Aufgaben / Übungen Wendetangente

Aufgabe 1:

Gegeben sei diese Funktion:

• f(x) = x · e^x

Tue dies:

• Berechne erst den Wendepunkt und im Anschluss die Wendetangente.
• Wie lautet die Funktion h(x) dieser Wendetangente?

• h(x) = -1,37 + 1,2
• h(x) = -1,3 + 0,2
• h(x) = -0,135x -0,54
• h(x) = 1,3 + 0,75

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Video Wendetangente

Fragen mit Antworten Wendetangente