Polstellen einer Funktion berechnen

Was Polstellen (Pole) sind und wie man diese berechnet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was Pole in der Mathematik sind.
• Beispiele für die Berechnung von Polstellen.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zu Nullstellen und Pole.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits wisst, was ein Bruch ist und wie man Nullstellen berechnen kann. Wer davon noch keine Ahnung hat, sollte dies bitte nachlesen. Ansonsten ran an Pole und Polstellen.

Polstellen einfach erklärt

Was versteht man unter einem Pol / einer Polstelle in der Mathematik?

Eine ganzrationale Funktion hat keine Pole, denn diese weist keinen Nenner auf. Zwei Beispiel für ganzrationale Funktionen:

Gebrochenrationale Funktionen sollten hingegen auf Polstellen untersucht werden. Bei solchen Funktionen haben wir einen Nenner mit einer Variablen x. Daher ist zu überprüfen, ob solch ein Nenner Null werden kann. Gebrochenrationale Funktionen sind zum Beispiel diese:

Strategie um Polstellen zu finden:

• Nullstellen des Nenners berechnen.
• Nullstellen des Zählers berechnen.
• Die gefundenen Nullstellen gegeneinander kürzen.
• Verbleibende Nullstellen im Nenner sind Pole.

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Polstellen berechnen Beispiele

In diesem Abschnitt sehen wir uns Beispiele zum Berechnen von Polstellen an.

Beispiel 1: Sichere Polstellen

Wo liegen die Polstellen bei dieser gebrochenrationalen Funktion?

Lösung:

• Bei diesem einfachen Beispiel muss man gar nicht lange rechnen:
  • Setzt man für x die Zahl 0 ein wird der Nenner 0.
  • Setzt man für x die Zahl -2 ein wird die Klammer und damit der Nenner 0.
• Es gibt keine Nullstellen im Zähler.
• Daher sind die Pole bei x₁ = 0 und x₂ = -2.
• Bei x₁ = 0 und x₂ = -2 wird der Nenner 0. Durch 0 darf nicht geteilt werden. Daher sind diese Stellen auch die Definitionslücken der Funktion.

Beispiel 2:

Finde die Polstellen der folgenden Funktion.

Lösung:

Um die Funktion auf Pole zu untersuchen beginnen wir mit dem Nenner. Diesen setzen wir = 0. Zur Lösung der quadratischen Gleichung verwenden wir die PQ-Formel und erhalten die Nullstellen des Nenners bei x₁ = -1 und x₂ = -2.

Mit diesem Wissen können wir den Nenner umwandeln. Dabei spricht man von einer Zerlegung in Linearfaktoren. Wir setzen dazu Klammern in den Nenner, die 0 werden, wenn x = -1 oder x = -2 eingesetzt werden. Tut man dies, sollte man sehen, dass (x + 1) in Zähler und Nenner vorkommen und raus gekürzt werden können. Es bleibt ein Zähler nur mit der Zahl 2 übrig wodurch der Zähler nicht 0 werden kann. Der Nenner kann noch Null werden wenn x = -2 wird, daher ist dies die Polstelle.

Aufgaben / Übungen Pole

Aufgabe 1:

• Wo liegt die Polstelle dieser Funktion?

• x = 1
• x = -1
• x = 0
• x = 2

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Video Pole / Nullstellen

Fragen mit Antworten Polstellen