Verhalten im Unendlichen: Gebrochenrationale Funktion

Das Verhalten im Unendlichen für gebrochenrationale Funktionen sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

• Eine Erklärung, was man unter dem Verhalten im Unendlichen versteht.
• Beispiele für die Berechnung dieser Grenzwerte.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zum Verhalten im Unendlichen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Wir sehen uns hier das Verhalten im Unendlichen für gebrochenrationale Funktionen an. Wer dies etwas allgemeiner benötigt sieht in die Übersicht rein unter Verhalten im Unendlichen.

Gebrochenrationale Funktion im Unendlichen

Was versteht man unter der Untersuchung von gebrochenrationalen Funktionen im Unendlichen?

Man unterscheidet bei der Untersuchung von ganzrationalen Funktionen drei unterschiedliche Fälle:

• Höchste Potenz im Nenner höher als höchste Potenz im Zähler.
• Höchste Potenz im Zähler höher als höchste Potenz im Nenner.
• Höchste Potenz im Zähler und Nenner gleich.

Beispiel: Potenz Nenner größer als Potenz Zähler

Im diesem Beispiel haben wir eine ganzrationale Funktion. Die höchste Potenz im Zähler ist x³ und die höchste Potenz im Nenner lautet x⁴. Setzen wir jetzt immer größere Zahlen (10, 100, 1000 etc.) oder immer kleinere Zahlen (-10, -100, -1000 etc.) ein, wird der Nenner schneller wachsen als der Zähler. Die Zahl im Nenner wächst viel schneller da die Potenz höher ist. Dies führt dazu, dass der ausgerechnete Bruch immer weiter Richtung 0 läuft.

Wer diese Überlegung nicht glaubt, sollte einfach einmal x = 10 und x = 100 einsetzen. Dann werdet ihr sehen, dass sich das Ergebnis mit größerem oder negativerem x immer weiter der 0 nähert.

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Verhalten im Unendlichen gebrochenrationale Funktion Beispiele

In diesem Abschnitt sehen wir uns zwei weitere Beispiele für das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen gegen plus und minus unendlich an.

Beispiel: Potenz Zähler größer als Potenz Nenner

Im nächsten Beispiel haben wir mit x³ eine höhere Potenz im Zähler als mit x² im Nenner. Setzen wir für x immer größere Zahlen ein (10, 100, 1000 etc.) wächst der Zähler wegen der höheren Potenz immer schneller, sprich das x³ wächst schneller als x². Daher läuft der Bruch gegen plus unendlich. Setzt man hingegen immer negativere Zahlen ein (-10, -100, -1000 etc.) läuft der Bruch hingegen gegen minus unendlich. Dies liegt daran, dass wenn man eine negative Zahl drei Mal aufschreibt und mit sich selbst multipliziert das Ergebnis negativ ist. Beispiel: (-10)(-10) = +100 aber (-10)(-10)(-10) = - 1000.

Beispiel: Potenz Zähler so groß wie Potenz Nenner

Bleibt uns noch ein dritter Fall. Die höchsten Potenzen im Zäher und Nenner sind gleich wie im nächsten Beispiel. Hier ist eine andere Vorgehensweise nötig um den Grenzwert zu berechnen. Dazu teilen wir jeden Ausdruck im Zähler und Nenner durch x². Im Anschluss überlegen wir uns, was passiert, wenn für x² hohe positive oder hohe negative Zahlen eingesetzt werden. Dies würde dazu führen, dass 3 : x² gegen Null läuft (da der Nenner davon stark wächst) und das 1 : x² gegen Null läuft (da der Nenner stark wächst). Es bleibt am Ende 2 : 5 übrig.

Aufgaben / Übungen Verhalten im Unendlichen

Aufgabe 1:

• Wie sieht das Verhalten der folgenden Funktion gegen plus unendlich aus?

• kein Grenzwert
• plus unendlich
• minus unendlich
• 0

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Video Grenzwerte

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