Satz von Vieta (Wurzelsatz)

Wie man den Satz von Vieta (Wurzelsatz von Vieta) verwendet, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

• Eine Definition / Erklärung, was der Wurzelsatz von Vieta ist.
• Beispiele wie man den Satz von Vieta verwendet.
• Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
• Ein Video zur PQ-Formel.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier gleich den Satz von Vieta an. Sehr hilfreich beim Verständnis ist es, wenn ihr bereits wisst, was eine quadratische Gleichung ist und wie die PQ-Formel funktioniert. Wer davon noch keine Ahnung hat sieht bitte erst in diese beiden Themen rein.

Satz von Vieta: Definition und Erklärung

Wozu dient der Satz von Vieta eigentlich? Starten wir mit einer Erklärung bzw. Definition zum Satz von Vieta:

Wir haben eine quadratische Gleichung in dieser Form:

Der Satz von Vieta besagt, dass diese beiden Gleichungen zutreffend sind:

Satz von Vieta Beispiel:

Wir haben die quadratische Gleichung x² -8x - 9 = 0. Löst man diese Gleichung mit der PQ-Formel erhält man als Lösungen x₁ = -1 und x₂ = -9. Mit der allgemeinen quadratischen Gleichung und dem Satz von Vieta ergibt sich damit die folgende Rechnung. Wichtig: Achtet auf die Vorzeichen.

Soweit zu den Zusammenhängen beim Satz von Vieta. Im nächsten Abschnitt sehen wir uns ein paar Beispiele dazu etwas näher an.

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Satz von Vieta Beispiele

So richtig "optimal" ist der Wurzelsatz von Vieta für viele Dinge nicht. Er ist meistens eher ein zusätzliches Hilfsmittel im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen. Dies soll auch mit Beispielen noch gezeigt werden.

Beispiel 1: Zweite Nullstelle berechnen

Wir haben die quadratische Gleichung x² + x - 6 = 0. Berechne die zweite Nullstelle wenn du weißt, dass x₁ = 2 eine Lösung ist.

Lösung:

Aus der quadratischen Gleichung können wir direkt p = 1 ablesen. Aus der Aufgabenstellung wissen wir noch, dass x₁ = 2 ist. Wir nehmen die Gleichung vom Satz von Vieta mit "p" und setzen hier ein. Damit erhalten wir x₂ = -3.

Beispiel 2: Satz von Vieta und Linearfaktorzerlegung

Gib die Linearfaktorzerlegung von x² + x - 6 = 0 an.

Lösung:

Wir kennen die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung aus Beispiel 1. Dies waren x₁ = 2 und x₂ = -3. Damit haben wir schon einen wichtigen Schritt für die Linearfaktorzerlegung durchgeführt. Dies bedeutet, dass wir mit den beiden Nullstellen zwei Klammern erzeugen können, die ausmultipliziert unsere quadratische Gleichung ergibt. Wichtig: Die Klammer muss jeweils so gestaltet sein, dass wenn man x₁ bzw. x₂ einsetzt stets 0 herauskommt.

Aufgaben / Übungen Satz von Vieta

Aufgabe 1: Wir haben die quadratische Gleichung x² + x - 6 = 0. Berechne die zweite Nullstelle mit dem Satz von Vieta wenn du weißt, dass x = 2 eine Lösung ist.

• x = -4
• x = 2
• x = -3
• x = 1

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Video PQ-Formel

Fragen mit Antworten Satz von Vieta