Gleichsetzungsverfahren: Lineare Gleichungssysteme

Wie man lineare Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren löst, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung wie man durch Gleichsetzen lineare Gleichungssysteme löst.
• Beispiele mit Gleichungssystemen zum besseren Verständnis.
• Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
• Ein Video zu linearen Gleichungssystemen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es gibt verschiedene Möglichkeiten lineare Gleichungssysteme zu lösen. Wir sehen uns hier das Gleichsetzungsverfahren an. Weitere Verfahren findet ihr im Hauptartikel lineare Gleichungssysteme lösen.

Erklärung Gleichungssysteme Gleichsetzungsverfahren

In der Mathematik kommt es vor, dass man mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen hat. Diese müssen im Anschluss gemeinsam gelöst werden. Ziel ist es, für jede Variable eine Zahl zu finden, die alle Gleichungen korrekt löst.

Die Idee beim Gleichsetzungsverfahren ist jede Gleichung nach der selben Variablen aufzulösen und diese beiden Gleichungen danach gleichzusetzen. Damit wird die zweite Variable berechnet und rückwärts eingesetzt. Klingt kompliziert, ist aber ganz einfach. Daher eine kleine Aufgabe zum Start.

Beispiel 1: Gleichsetzungsverfahren Einleitung

Gelöst werden soll das folgende Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren bei 2 Variablen. Wie groß sind x und y?

Lösung:

In diesem einfachen Fall sind beide Gleichungen nach y aufgelöst. Die Gleichungen sagen aus, dass y so groß ist wie x + 2 und das y auch so groß ist wie 4x - 4. Mit anderen Worten sind x + 2 und 4x - 4 gleich groß. Dies nutzen wir aus, indem wir sie gleichsetzen.

Wir haben damit eine Gleichung mit einer Unbekannten (x). Diese Gleichung lösen wir nach x auf.

Wir haben x = 2 berechnet. Dies setzen wir in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und berechnen damit y.

Zur Kontrolle setzen wir x = 2 und y = 4 noch einmal in die andere Gleichung ein. Dabei stehen wir, dass auch diese korrekt gelöst wird.

Wir können mit x = 2 und y = 4 noch eine Lösungsmenge angeben:

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Beispiele Gleichungssysteme Gleichsetzungsverfahren

In diesem Abschnitt sehen wir uns noch ein weiteres Beispiel zum Gleichsetzungsverfahren an. Dabei haben wir ein Beispiel, bei dem nach eine der Variablen umgestellt werden muss und damit die zweite Variable berechnet werden soll.

Beispiel 2: Gleichsetzungsverfahren 2 Variablen

Löse das nächste Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren. Berechne dazu die beiden Variablen x und y und gib am Ende die Lösungsmenge an.

Lösung:

Wir stellen beide Gleichungen nach y um. Bei der ersten Gleichung dazu einfach +1 rechnen. Bei der zweiten Gleichung einfach alles durch 2 teilen, um nach y aufzulösen. Danach setzen wir gleich und berechnen x = 3. Am Ende können wir x = 3 eine eine der Gleichungen einsetzen und damit y = 8 ausrechnen.

Weitere Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen lernt ihr unter lineare Gleichungssysteme lösen.

Aufgaben / Übungen Gleichungssysteme

Aufgabe 1: Wie groß sind x und y im nächsten Gleichungssystem?

• x = 4 und y = 2
• x = 3 und y = 3
• x = 1 und y = 5
• x = 2 und y = 4

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Video lineare Gleichungssysteme

Fragen mit Antworten Gleichsetzungsverfahren