Produktform / Produktdarstellung

Was man unter der Produktform bzw. Produktdarstellung versteht, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

• Eine Erklärung, was was man unter der Produktform versteht.
• Beispiele um eine Funktion in die Produktdarstellung zu bringen.
• Übungen zu diesem Gebiet.
• Ein Video zu diesem Thema.
• Ein Frage- und Antwortbereich zur Produktdarstellung.

Tipp: Wir sehen uns hier gleich die Produktdarstellung an. Hilfreich beim Verstehen der Inhalte ist es, wenn ihr bereits wisst wie die PQ-Formel und die Polynomdivision funktioniert. Wer davon noch keine Ahnung hat und in den nächsten Abschnitten Verständnisprobleme bekommt, sollte dort einmal rein sehen.

Produktform Erklärung

Wofür braucht man die Produktschreibweise überhaupt?

Was heißt das? Starten wir mit der allgemeinen Form, im Anschluss folgt ein Beispiel. In den meisten Fällen liegt eine Gleichung oder eine Funktion in Form einer Summe vor:

Für die Produktform müssen wir diese Funktion oder Gleichung auf diese Schreibweise bringen:

Das x - x₁ oder auch x -x₂ bezeichnet man als Linearfaktoren. Diese Produktschreibweise mit den Klammern wird auch als Zerlegung eines Polynoms in seine Linearfaktoren bezeichnet.

Beispiel für Produktdarstellung:

Sehen wir uns kurz ein Beispiel an. Wir haben eine quadratische Gleichung in Polynomschreibweise (Darstellung mit Summen):

In der Produktdarstellung wäre diese Gleichung wie folgt zu schreiben:

Wie kommt man selbst dazu eine Funktion oder Gleichung in die Produktform umzuformen? Dazu sehen wir uns Beispiele zum besseren Verständnis im nächsten Abschnitt an.

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Beispiel Produktdarstellung / Produktschreibweise

Wir sehen uns hier Beispiele für die Produktschreibweise für quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen an sowie für eine kubische Gleichung 3. Grades (ganzrationale Gleichung) und eine gebrochenrationale Gleichung.

Beispiel 1: Quadratische Funktion (Gleichung)

Wir haben eine quadratische Funktion in der gewohnten Polynomschreibweise. Wandle diese in die Produktform um.

Lösung:

Wir setzen diese Gleichung gleich Null. Mit der PQ-Formel lösen wir die quadratische Gleichung um x₁ und x₂ zu berechnen.

Wir erhalten die Lösungen x₁ = -1 und x₂ = -2. Damit eine Klammer Null wird muss entweder -1 oder -2 für die Variable x eingesetzt werden. Daher erhalten wir als Produktschreibweise (x + 1)(x + 2).

Beispiel 2: Ganzrationale Gleichung (Kubische Funktion)

Im Beispiel 2 soll die Produktschreibweise für eine ganzrationale Funktion berechnet werden. Es handelt sich dabei um eine Polynomfunktion 3. Grades, sprich eine kubische Funktion. Bringe die folgende Funktion in die Produktdarstellung.

Lösung:

Um auf die Produktschreibweise zu kommen, muss zunächst eine Polynomdivision berechnet werden. Dazu fehlt uns zunächst eine erste Nullstelle für die Berechnung. Diese Nullstelle finden wir durch Raten von x = 1. Wie dies geht lernt ihr unter Erste Nullstelle finden (Polynomdivision). Wer mit der folgenden Berechnung zu kämpfen hat sieht bitte rein unter Polynomdivision Erklärung.

Wie kommen wir auf die Produktdarstellung? Mit (x -1) kennen wir bereits den ersten Linearfaktor, denn diesen haben wir bei der Polynomdivision eingesetzt. Übrig geblieben ist noch der quadratische Ausdruck x² -5x -6. Wir wenden darauf die PQ-Formel an. Die Rechnung erspare ich mir hier damit der Artikel nicht noch länger wird. Wir erhalten x = 6 und x = -1. Die Produktschreibweise sieht dadurch wie folgt aus:

Beispiel 3: Gebrochenrationale Funktion / Gleichung

Im Beispiel Nummer 3 liegt eine gebrochenrationale Funktion (Gleichung) vor. Der Zähler entspricht der Polynomfunktion aus dem ersten Beispiel. Im Nenner liegt die quadratische Gleichung aus Beispiel 2 vor.

Lösung:

Für Zähler und Nenner soll soll eine Zerlegung für eine Produktdarstellung durchgeführt werden. Im Zähler der gebrochenrationalen Funktion machen wir dies wie in Beispiel 1 dargestellt mit Polynomdivision und PQ-Formel. Wir erhalten (x -1)(x - 6)(x + 1). Im Nenner der gebrochenrationalen Funktion wenden wir die PQ-Formel an wie in Beispiel 2 und erhalten (x + 1)(x + 2). Am Ende kürzen wir (x + 1) in Zähler und Nenner.

Aufgaben / Übungen Produktdarstellung

Aufgabe 1:

• Gegeben sei f(x) = x² - 2x - 8.
• Es soll eine Zerlegung in Linearfaktoren durchgeführt werden.
• Wie lautet die Produktdarstellung?

• ( x - 4 ) ( x - 2 )
• ( x + 4 ) ( x - 2 )
• ( x - 4 ) ( x + 2 )
• ( x - 5 ) ( x + 3 )

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