Integralrechnung Mathematik

Mit der Integralrechnung befassen wir uns hier. Wenn ihr bereits wisst welches Thema ihr zum Rechnen mit Integralen möchtet, dann findet ihr hier zunächst Liste an Links. Falls nicht gibt es darunter eine Einführung in die Integralrechnung, die Integrationsregeln und wie man mit Integralen Flächen berechnet.

Themen Integralrechnung:

• Integrieren Grundlagen
• Grundintegrale / Tabelle Integrale
• Stammfunktion berechnen
  • Unbestimmtes Integral
  • Bestimmtes Integral
  • Integral berechnen und Bedeutung
• Integrationsregeln
  • Potenzregel Integration
  • Faktorregel Integration
  • Summenregel Integration
  • Partielle Integration / Produktintegration
  • Substitutionsregel
• Integrationsgrenzen
• Fläche unter Kurve / Funktion berechnen

In den nächsten Abschnitten sehen wir uns nun einige wichtige Themen der Integralrechnung an. Starten wir mit der Einführung in die Integralrechnung.

Einführung Integralrechnung

Vielleicht erinnert sich noch jemand an Ableitungen? Bei diesen ging es darum die Steigung von Funktionen zu berechnen. Das Gegenteil von Ableitung ist Integration. Bei der Integralrechnung geht es letztlich darum die Fläche unter einer Funktion zu berechnen. Zum Beispiel könnte man die grüne Fläche im nächsten Koordinatensystem berechnen.

Um die Fläche zu berechnen, muss zunächst die Funktion integriert werden. Im einfachsten Fall findet man die Stammfunktion F(x) - das ist das was man erhält wenn man die Funktion integriert - in einer Tabelle. Ein kleiner Auszug:

Weitere Grund-und Stammintegrale findet ihr unter Tabelle Integrale. Ist die Funktion schwieriger, setzt man zum Integrieren verschiedene Integrationsregeln ein. Auf diese werfen wir erst einmal einen kurzen Blick.

Regeln Integralrechnung:

Potenzregel Integralrechnung: Eine Potenz wie die Funktion f(x) = x³ wird mit der Potenzregel integriert. Wie diese Integrationsegel funktioniert und weitere Beispiele findet ihr unter Potenzregel der Integration.

Faktorregel der Integration: Ein konstanter Faktor darf vor das Integralzeichen gezogen werden wie die 3 im nächsten Beispiel. Mehr dazu unter Faktorregel der Integration.

Summenregel Integration: Summen und auch Differenzen werden einzeln (gliedweise) integriert. Bei der nächsten Funktion mit f(x) = 3x + 2 ist dies der Fall. Die Summenregel mit Aufgaben besprechen wir unter Summenregel der Integration.

Produktintegration: Eine Gleichung / Funktion kann auch in Form eines Produktes vorliegen. Dabei sind sehr unterschiedliche Arten von Funktionen für die Integration möglich, wie man den Beispielen entnehmen kann. Integrieren kann man solche Aufgaben mit der Produktintegration / Partiellen Integration.

Integration durch Substitution: E-Funktionen, Brüche etc. müssen mit der Hilfe von Substitutionen gelöst werden. Diese Integrationsregel lernt ihr unter Integration durch Substitution.

Man bezeichnet dies manchmal auch als die "Regeln zum Aufleiten".

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Flächenberechnung Integralrechnung

Wenn ihr die Integrationsregeln kennt, habt ihr eine wichtige Voraussetzung dafür eine Flächenberechnung durchzuführen. Wenn ihr die Regeln noch nicht,kennt, solltet ihr diese erst einmal lernen!

Wendet man die Integrationsregeln bei Funktionen an kommt man von der Ausgangsfunktion f(x) auf die integrierte Funktion F(x). Dieses F(x) nennt man auch Stammfunktion. Einfach nur eine Funktion zu integrieren bezeichnet man auch als unbestimmtes Integral.

Fläche mit Integralen berechnen:

Die Flächenberechnung mit der Integralrechnung funktioniert mit dem bestimmten Integral. Nehmen wir dazu noch einmal das Beispiel von weiter oben. Wie kann man die grüne Fläche mit der Integralrechnung berechnen?

Lösung:

Zunächst brauchen wir die rot eingezeichnete Funktion. Das ist ein "gerader Strich", also eine lineare Funktion. Steigt x um 1 geht y um 2 nach oben. Außerdem geht die Funktion durch den Ursprung des Koodinatensystems. Daher ist die Funktion f(x) = 2x. Die grüne Fläche geht von x = 0 bis x = 2 (seht euch dies in der Grafik an). Das sind unsere Integrationsgrenzen und diese schreibt man unten und oben an das Integral dran. Daher müssen wir dies lösen:

Noch eine Anmerkung: Das dx bedeutet, dass nach der Variablen x integriert werden muss. Für unsere Aufgabe brauchen wir die Potenzregel der Integration. Diese Integrationsregel wenden wir erst einmal an und kommen von 2x auf x². Die x² schreiben wir diesmal in eckige Klammern und dahinter die Grenzen

Im nächsten Schritt müssen wir die Grenzen einsetzen. Zunächst setzen wir mit x = 2 die obere Integrationsgrenze ein. Aus x² wird dadurch 2². Im nächsten Schritt setzen wir die untere Integrationsgrenze mit x = 0 ein. Aus x² wird 0². Dazwischen setzen wir ein Minuszeichen.

Rechnen wir 2² - 0² aus erhalten wir eine 4 als Ergebnis. Dies ist der Flächeninhalt der grünen Fläche, daher schreibt man manchmal auch 4 FE. Das FE ist die Kurzform von Flächeneinheiten.

Aufgaben / Übungen Integralrechnung

In diesem Abschnitt findet ihr unsere Übungsaufgaben zur Integralrechnung.

• Integration Grundlagen Aufgaben / Übungen
• Stammfunktion berechnen Aufgaben / Übungen
  • Unbestimmtes Integral Aufgaben / Übungen
  • Bestimmtes Integral Aufgaben / Übungen
  • Integral berechnen Aufgaben / Übungen
• Integrationsregeln Aufgaben / Übungen
  • Potenzregel Integration Aufgaben / Übungen
  • Faktorregel Integration Aufgaben / Übungen
  • Summenregel Integration Aufgaben / Übungen
  • Partielle Integration Aufgaben / Übungen
  • Substitutionsregel Aufgaben / Übungen
• Integrationsgrenzen Aufgaben / Übungen
• Fläche unter Kurve / Funktion Aufgaben bzw. Übungen

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Video Integralrechnung

Fragen mit Antworten zur Integralrechnung