Potenzregel Integral / Integrieren

Wie man die Potenzregel beim Integrieren anwendet, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wofür man die Potenzregel bei der Integralrechnung braucht.
• Beispiele für den Einsatz der Potenzregel.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zu den Grundlagen der Integralrechnung
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits die Grundlagen der Integration kennt sowie die Potenzregel Ableitung.

Potenzregel beim Integrieren

Ich hoffe ihr erinnert euch noch an die Potenzregel für Ableitungen. Jetzt geht es darum eine Ableitung umzukehren, also zu integrieren. Der allgemeine Zusammenhang - sozusagen die "Formel" - um eine Potenz zu integrieren lautet:

Das Zeichen ganz am Anfang ist das Zeichen für das Integral. Ansonsten: Sieht kompliziert aus, ist jedoch eigentlich ganz einfach. Die Potenzregel in Worten besagt:

Beispiel 1: Einfache Potenz integrieren

Integriert werden soll f(x) = x³ nach der Variablen x (daher die Schreibweise dx dahinter). Wie lautet das Ergebnis?

Lösung:

Die Potenz ist 3, sprich n = 3. Um das Integral zu berechnen, müssen wir diese Potenz um 1 erhöhen auf 4. Diese 4 kommt auch noch einmal in den Nenner. Fehlt uns noch das + C am Ende.

Zum Verständnis: Eines muss klar sein. Leite ich x⁴ : 4 + 3 oder x⁴ : 4 + 8 wieder ab, dann fällt jedes beliebige C wieder weg. Da wir jedoch beim Integrieren nicht wissen wie groß die alleinstehende Zahl ist, müssen wir einfach + C schreiben.

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Potenzregel Integrieren Beispiele

Sehen wir uns noch die Potenzregel zum Integrieren für Brüche und negative Potenzen an.

Beispiel 2: Potenzregel mit Bruch

Beim folgenden Beispiel haben wir eine Potenz, jedoch mit einem Bruch 2 : 3 mit dabei. Dies soll nach der Variablen x integriert werden. Wie lautet die Lösung?

Lösung:

Zunächst schreiben wir uns noch einmal den allgemeinen Zusammenhang für die Integration von Potenzen auf. Den Bruch - also 2 : 3 - dürfen wir für die Integration vor das Integral ziehen. Bleibt uns als Potenz x⁴ übrig. Für die Integration wird die Potenz um 1 erhöht auf 5, welche auch in den Nenner kommt. Im Anschluss müssen wir nur noch ausmultiplizieren.

Beispiel 3: Negative Potenz integrieren

Integriert werden soll 1 geteilt durch x² nach x. Wie lautet die Lösung?

Lösung:

Wir bringen zunächst die x² aus dem Nenner in den Zähler. Dadurch dreht sich das Vorzeichen um. Im Anschluss nehmen wir den allgemeinen Zusammenhang für die Integration von Potenzen und setzen n = -2 ein. Wir vereinfachen die Potenzen. Im Prinzip ist die Integration jetzt fertig, kann jedoch noch vereinfacht werden.

Aufgaben / Übungen Potenzregel Integration

Aufgabe 1:

• Wie lautet die Lösung dieses Integrals?
• Beachte: Es muss die Potenzregel verwendet werden?

• x⁴ + C
• 0,25x⁴ + 2
• 0,25x³ + C
• 0,25x⁴ + C

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Fragen mit Antworten: Potenzregel Integration