Unbestimmtes Integral

Was ein unbestimmtes Integral ist und wie man es löst, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, was ein unbestimmtes Integral ist.
• Beispiele für das Lösen unbestimmter Integrale.
• Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
• Ein Video zur Integralrechnung.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Ihr solltet bereits wissen was Integrieren überhaupt bedeutet. Wer davon noch keine Ahnung hat wirft bitte erst einmal einen Blick in die Grundlagen der Integration. Ansonsten sehen wir uns hier jetzt das unbestimmte Integral an.

Unbestimmtes Integral Erklärung

In der Schule lernt man zunächst das Ableiten kennen. Meistens hat man f(x) gegeben und bildet dann die 1. Ableitung mit f'(x), die zweite Ableitung mit f''(x) und bei Bedarf noch weitere Ableitungen. Bei der Integralrechnung geht man den umgekehrten Weg. Integriert man zum Beispiel die 1. Ableitung f'(x) erhält man wieder f(x). Zusätzlich kommt eine Konstante hinzu (dazu gleich mehr). Integriert man hingegen f(x) landet man bei der Stammfunktion F(x).

Beispiel unbestimmtes Integral:

Zunächst eine kurze Erinnerung aus dem Bereich der Ableitungen: Wir leiten die Stammfunktion F(x) = x² + 5 ab. Mit der Potenzregel der Ableitung wird daraus f(x) = 2x.

Jetzt gehen wir den umgekehrten Weg. Wir integrieren f(x) wieder und erhalten die Lösung des unbestimmten Integrals als F(x), auch Stammfunktion genannt. Die Regeln mit welchen man die Integration durchführt werden weiter unten genannt. Frage: Woher kenne ich aber die 5 beim Lösen vom unbestimmten Integral bei F(x) = x² + 5? Antwort: Gar nicht. Ich komme beim Integrieren von 2x auf x² mit den Integrationsregeln. Aber eine Konstante wie 5 oder 8 oder 2 kenne ich einfach nicht. Daher schreibt man einfach C. Das C ist ein Platzhalter für eine Konstante, die man nicht kennt.

Im nächsten Abschnitt sehen wir uns Regeln zur Bildung von Stammfunktionen an.

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Unbestimmtes Integral bilden

Wie berechnet man das unbestimmte Integral? Im einfachsten Fall findet man dies durch Blick in eine Tabelle für Stammintegrale bzw. Grundintegrale. Es folgt ein Auszug aus so einer Tabelle

Auszug Tabelle Stamm- und Grundintegrale:

Weiter zu:

• Liste an Grundintegralen und Stammintegralen

Unbestimmte Integrale bilden Regeln:

Es gibt verschiedene Regeln um unbestimmte Integrale zu lösen. Um den Artikel nicht extrem in die Länge zu sehen werft einen Blick auf die folgenden Inhalte:

• Potenzregel Integration
• Faktorregel Integration
• Summenregel Integration
• Partielle Integration / Produktintegration
• Substitutionsregel

Üben könnt ihr diese Regeln im nächsten Abschnitt.

Unbestimmtes Integral Aufgaben / Übungen

Um die verschiedenen Integrationsegeln zum Bilden von unbestimmten Integralen anwenden zu lernen haben wir eine Reihe an Übungsaufgaben erstellt. Diese Aufgaben sind unterteilt nach der jeweiligen Regel. Versucht dabei jeweils die Aufgaben zu lösen ohne mit dem Taschenrechner oder anderen Hilfsmitteln nachzuhelfen.

• Potenzregel Integration Aufgaben / Übungen
• Faktorregel Integration Aufgaben / Übungen
• Summenregel Integration Aufgaben / Übungen
• Partielle Integration Aufgaben / Übungen
• Substitutionsregel Aufgaben / Übungen

Zu jeder Aufgabe gibt es vier Möglichkeiten zu antworten von denen nur eine Antwort richtig ist. Die drei anderen Antworten sind falsch. Wer die Antwort nicht weiß kann entweder raten oder direkt zur Lösung der Aufgabe springen, welche im Normalfall die Rechnung und eine Erläuterung bietet.

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Video Stammfunktion

Fragen mit Antworten zu Integrationsregeln