Umkehrfunktion bilden und zeichnen

Was eine Umkehrfunktion ist und wie man sie rechnerisch oder zeichnerisch erhält, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wie man die Umkehrfunktion findet.
• Beispiele für rechnen und zeichnen von Umkehrfunktionen.
• Aufgaben / Übungen um das Thema zu üben.
• Ein Video zur Umkehrfunktion.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Wir sehen uns hier die Umkehrfunktion an. Je nachdem wie tief ihr in das Thema einsteigen wollt, solltet ihr wissen, wie man eine Gleichung auflöst, was eine quadratische Gleichung oder Bruchgleichung ist.

Umkehrfunktion: Erklärung und grafisch

Klären wir zunächst, was eine Umkehrfunktion - auch inverse Funktion genannt - ist.

Bevor wir rechnen zum Verständnis erst einmal ein grafisches Beispiel.

Beispiel 1: Umkehrfunktion grafisch

Die nächste Grafik zeigt ein x-y-Koordinatensystem. In orange wurde eine Funktion eingezeichnet, zu welcher die Umkehrfunktion gefunden werden soll.

Lösung:

Wir zeichnen eine Gerade x = y in grün ein. Die orangene Funktion spiegeln wir an der grünen Gerade und erhalten dadurch die blaue Funktion. Der Abstand von der orangenen und blauen Funktion zur grünen Gerade ist dabei stets gleich. Wer nicht mehr weiß wie man spiegelt, sieht bitte noch einmal in Spiegelbilder / Spiegelachse rein.

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Umkehrfunktion rechnerisch

Wie kann man die Umkehrfunktion bilden mit einer Rechnung? Dazu sehen wir uns gleich einige Beispiele an. Zuvor kurz die allgemeine Vorgehensweise beim Berechnen der Umkehrfunktion und die Voraussetzungen sowie Hinweise damit man überhaupt eine Umkehrfunktion bilden kann.

Vorgehensweise Umkehrfunktion:

• Wir lösen die Funktionsgleichung y = f(x) nach x auf.
• Wir vertauschen x und y.

Voraussetzungen / Hinweise Umkehrfunktion:

• Eine Funktion ist umkehrbar, wenn sie streng monoton fallend oder streng monoton steigend ist.
• Bei der Umkehrung werden Definitionsbereich und Wertebereich vertauscht.
• Die Umkehrfunktion wird oft mit f^-1 bezeichnet.

Beispiel 2: Lineare Funktion

Die lineare Funktion y = 2x + 1 soll umgekehrt werden. Wir lautet die Umkehrfunktion?

Lösung:

Die Funktion ist streng monoton wachsend. Daher ist sie umkehrbar. Wir lösen die Funktion nach x auf und vertauschen x und y.

Beispiel 3: Umkehrfunktion Bruch

Im nächsten Beispiel ist eine Umkehrfunktion mit Bruch zu bilden. Wie lautet die Umkehrfunktion dieser Funktion?

Lösung:

Wir multiplizieren mit dem Nenner (x + 4), damit dieser auf die linke Seite der Gleichung kommt. Die Klammer wird ausmultipliziert. Im Anschluss wird umgeformt und x ausgeklammert auf der linken Seite. Die Gleichung wird nach x aufgelöst und im Anschluss werden zur Bildung der Umkehrfunktion x und y vertauscht.

Aufgaben / Übungen Umkehrfunktion

Aufgabe 1:

Bevor wir an Aufgaben gehen.

Frage: Wie erhält man die Umkehrfunktion?

• Um 1 unter x = 2y
• Spiegelung an der Gerade x = y
• Immer Parallel zu x = y
• Spiegelung an der Gerade 2x = y

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Video Umkehrfunktion

Fragen mit Antworten Umkehrfunktion