Inverse Funktion

Was eine inverse Funktion ist und wie man sie rechnerisch oder grafisch erhält, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wie man eine inverse Funktion findet.
• Beispiele für rechnen und zeichnen von inversen Funktionen.
• Aufgaben / Übungen um das Gebiet zu üben.
• Ein Video zur inversen Funktion.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier die inverse Funktion an. Je nachdem wie tief ihr in das Gebiet einsteigen wollt, solltet ihr wissen, wie man eine Gleichung auflöst oder was eine quadratische Gleichung bzw. Bruchgleichung ist. Wer noch keine Ahnung hat kann gerne in diese Inhalte rein sehen. Ansonsten ran an die inverse Funktion.

Inverse Funktion: Erklärung und grafisch

Klären wir zunächst, was eine inverse Funktion - auch Umkehrfunktion genannt - ist.

Bevor wir rechnen zum Verständnis erst einmal ein zeichnerisches Beispiel.

Beispiel 1: Inverse Funktion zeichnerisch

Die nächste Grafik zeigt ein Koordinatensystem mit x-Achse und y-Achse. In orange wurde eine Funktion eingezeichnet, zu welcher die inverse Funktion gefunden werden soll.

Lösung:

Wir zeichnen eine Gerade x = y in das Koordinatensystem in grün ein. Die orangene Funktion spiegeln wir an der grünen Gerade (x = y) und erhalten dadurch die dunkelblaue Funktion. Der Abstand von der orangenen Funktion und blauen Funktion zur grünen Gerade ist dabei stets gleich. Wer nicht mehr weiß wie man etwas spiegelt, sieht bitte noch einmal in Spiegelbilder / Spiegelachse rein.

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Inverse Funktion Beispiel rechnen

Wie kann man die inverse Funktion berechnen? Dazu sehen wir uns zwei Beispiele an. Zuvor die Vorgehensweise und Hinweise.

Inverse Funktion Vorgehensweise

• Wir lösen die Gleichung y = f(x) nach x auf.
• Wir vertauschen die Variablen x und y.

Inverse Funktion Voraussetzungen / Hinweise:

• Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn sie streng monoton fallend oder steigend ist.
• Bei der inversen Funktion werden Definitionsbereich und Wertebereich vertauscht.
• Die inverse Funktion wird oft mit f^-1 bezeichnet.

Beispiel 2: Lineare Funktion

Die lineare Gleichung / Funktion y = 2x + 1 soll invertiert werden. Wir lautet diese?

Lösung:

Die Funktion ist streng monoton wachsend. Daher ist sie invertierbar. Wir lösen die Funktion nach x auf und vertauschen x und y.

Beispiel 3: Inverse Funktion Bruch

Im nächsten Beispiel ist eine inverse Funktion mit Bruch zu bilden. Wie lautet diese?

Lösung:

Wir multiplizieren die Gleichung auf beiden Seiten mit dem Nenner (x + 4), damit dieser auf die linke Seite der Gleichung kommt. Die Klammer auf der linken Seite wird ausmultipliziert. Im Anschluss wird umgeformt und x im Anschluss ausgeklammert. Die Gleichung wird nach x umgestellt und im Anschluss werden zur Bildung der inversen Funktion x und y vertauscht.

Aufgaben / Übungen inverse Funktion

Aufgabe 1:

Bevor wir an Aufgaben gehen.

Frage: Wie erhält man die Umkehrfunktion?

• Immer Parallel zu x = y
• Spiegelung an der Gerade 2x = y
• Um 1 unter x = 2y
• Spiegelung an der Gerade x = y

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Video inverse Funktion

Fragen mit Antworten inverse Funktion