Logarithmus Grundlagen und Beispiele

Die Grundlagen zum Logarithmus behandeln wir hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wofür man den Logarithmus braucht.
• Beispiele für das Rechnen mit einfachen logarithmen.
• Aufgaben / Übungen um das Thema zu üben.
• Ein Video zum Logarithmus.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns gleich den Logarithmus an. Hilfreich ist, wenn ihr bereits einfache Gleichungen lösen könnt. Wer davon noch keine Ahnung hat, klickt auf den Link von eben. Ansonsten ran an den Logarithmus.

Logarithmus Einführung

In der Mathematik habt ihr bereits das Lösen von einfachen Gleichungen kennen gelernt. Dabei soll x oder eine andere Variable berechnet werden. Zum Beispiel:

Solche einfachen Gleichungen lassen sich mit den Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) lösen. Aber was passiert wenn das x im Exponenten steht? Wie würdet ihr dieses Beispiel lösen?

Um x zu berechnen, kann man entweder verschiedene Zahlen für x einfach einsetzen und ausprobieren oder man benötigt den Logarithmus. Wir halten fest:

Zurück zum Beispiel. Die Aufgabenstellung lautete 2^x = 8 und x soll berechnet werden. Wir können verschiedene Zahlen ausprobieren für x, zum Beispiel x = 1, x = 2 und x = 3. Mit x = 3 finden wir auch die Lösung, denn 2³ = 8.

Die Aufgabe kann jedoch auch mit dem Logarithmus geschrieben werden. Die Gleichung 2^x = 8 wird mit dem Logarithmus nach x aufgelöst, so wie man dies auch bei anderen Gleichungen macht. Das Beispiel rechnet sich damit wie folgt.

Wie spricht man dies aus? Hier ist "x der Logarithmus aus 8 zur Basis 2". Bevor wir uns weitere Beispiele ansehen gibt es erst einmal einige wichtige Begriffe. Die nächste Grafik zeigt wie aus Basis, Exponent und Potenzwert durch Logarithmieren der Logarithmuswert, die Basis und der Numerus wird.

Wichtig: In der Schule werden nur ganz einfache Aufgaben mit dem Verständnis zu Potenzen gelöst (Siehe nächster Abschnitt). Anspruchsvollere Logarithmen werden mit dem Taschenrechner gelöst. Dies ist per Hand sehr schwierig (Siehe Erklärung am Artikelende).

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Logarithmus einfache Beispiele

In diesem Beispiel sehen wir uns eine Reihe an weiteren Beispielen zum Logarithmieren an. Diese sollen auch zeigen, dass man ganz einfache Aufgaben zum Logarithmus mit ein bisschen Verständnis zu Potenzen lösen kann.

Beispiel 1: Logarithmus Basis 2

Wie groß ist x in der nächsten Aufgabe?

Lösung:

Wir lösen mit dem Logarithmus nach x auf. Dabei haben wir den Logarithmus von 16 zur Basis 2. Dies können wir mit dem Taschenrechner rechnen oder für x Zahlen einsetzen. Setzen wir für x = 4 ein erhalten wir 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16.

Beispiel 2: Logarithmus Basis 4

Wie groß ist x in der nächsten Aufgabe?

Lösung:

Durch das Logarithmieren lösen wir die Aufgabe nach x auf. Mit Taschenrechner (und der Logarithmus-Taste) oder durch ausprobieren erhalten wir x = 3. Wir erhalten damit 4³ = 4 · 4 · 4 = 64.

Beispiel 3: Logarithmus Basis 10

Wie groß ist a in der nächsten Gleichung?

Lösung:

In diesem Beispiel erhalten wir den Logarithmus von 100 zur Basis 2. Wir erhalten dadurch x = 2. Kontrolle: 10² = 10 · 10 = 100.

Soweit eine kurze Einführung in das Thema Logarithmus. Um dieses Thema jedoch weiter zu lernen, solltet ihr euch noch weitere Inhalte zum Logarithmus ansehen. Typische Fragen zum Logarithmus werden weiter unten noch behandelt.

Logarithmus Themen:

• Logarithmus Grundlagen
• Logarithmengesetze / Regeln Logarithmus
• Logarithmusgleichungen
• Logarithmus Formeln
• Logarithmus Basiswechsel
• Logarithmusfunktion
• Natürlicher Logarithmus
• ln-Funktion, Regeln und Gesetze

Aufgaben / Übungen Logarithmus

Aufgabe 1:

Wie lautet die Lösung dieser Aufgabe? Wie groß ist x?

• x = 4
• x = 3
• x = 1
• x = 2

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Logarithmus Video

Fragen mit Antworten zum Logarithmus