Wurzelgleichungen: Gleichungen mit Wurzel

Wie man eine Wurzelgleichung berechnet, lernt ihr hier. Folgende Inhalte werden angeboten:

• Eine Definition / Erklärung, was eine Wurzelgleichung ist.
• Beispiele wie man eine Wurzelgleichung löst.
• Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
• Ein Video zum Umgang mit Wurzelgleichungen.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Wir sehen uns hier gleich an wie man Wurzelgleichungen lösen kann. Ihr solltet dazu jedoch Wissen wie man einfache Wurzeln berechnet und wie man lineare Gleichungen auflöst. Wer davon keine Ahnung hat, sollte bitte erst in die genannten Inhalte rein sehen, sonst wird es in den nächsten Abschnitten besonders schwer.

Wurzelgleichungen: Definition und Erklärung

Fangen wir erst einmal damit an was eine Wurzelgleichung überhaupt ist. Daher erst eine Definition für Wurzelgleichungen:

Vorgehensweise zum Lösen einer Wurzelgleichung:

1. Definitionsmenge bestimmen.
2. Wurzel auf eine Seite der Gleichung bringen.
3. Gleichung quadrieren.
4. Nach einer Variablen auflösen.
5. Ergebnis mit Probe kontrollieren.

Beispiel 1: Wurzelgleichung mit einer Wurzel

Wir haben die folgende Wurzelgleichung. Bestimmte die Definitionsmenge und löse die Aufgabe.

Lösung:

In der Mathematik (der Schule gilt): Aus einer negativen Zahl darf keine Wurzel gezogen werden. Aus diesem Grund muss die Wurzel mindestens 0 oder größer sein. Dies berechnen wir und erhalten als Ergebnis, dass x maximal 4 groß sein darf. Dies schreiben wir in die Definitionsmenge.

Nach der Definitionsmenge soll jetzt die Wurzelgleichung berechnet werden. Dazu isolieren wir zunächst die Wurzel: Die Wurzel kommt auf eine Seite der Gleichung und der Rest auf die andere Seite. Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung und lösen nach x auf.

Löst x = 1 wirklich unsere Wurzelgleichung? Wir testen dies mit einer Probe. Da diese Probe erfolgreich ist, können wir x = 1 in die Lösungsmenge schreiben.

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Wurzelgleichung Beispiel: Wurzel beide Seiten

In diesem Abschnitt sehen wir uns ein weiteres Beispiel zu Wurzelgleichungen an. Dazu gibt es zunächst eine Wurzelgleichung mit Wurzeln auf beiden Seite der Gleichung. Hier muss die Definitionsmenge berechnet werden und im Anschluss die Lösung.

Beispiel 2: Wurzel auf beiden Seiten

Wir haben eine Wurzelgleichung mit Wurzeln auf beiden Seiten der Gleichung. Wie lauten Definitionsmenge und Lösungsmenge? Führe eine Probe durch!

Lösung:

Wir starten zunächst mit der Berechnung der Definitionsmenge. Dazu muss bei beiden Wurzeln mindestens eine Null unter der Wurzel entstehen oder eben größer. Wir rechnen dies für beide Wurzeln aus. Dabei wird klar: Ist eine Zahl größer als -1,333... dann ist sie auch größer als -4. Aus diesem Grund schreiben wir nur die -1,333... in die Definitionsmenge.

Fehlt uns noch die eigentliche Rechnung. Wir quadrieren dazu beide Seiten der Wurzelgleichung um eine Gleichung ohne Wurzeln zu erzeugen. Im Anschluss müssen wir nur noch nach 4 = x auflösen.

Ist x = 4 die richtige Lösung? Wir setzen diese Lösung in die Gleichung ein und sehen, dass sie stimmt. Daher kommt x = 4 in die Lösungsmenge.

Aufgaben / Übungen Gleichung mit Wurzel

Aufgabe 1: Wie lautet die Definitionsmenge der folgenden Wurzelgleichung?

• x <= 4
• x >= 5
• x < 2
• x >= 3

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Video Wurzelrechnung

Fragen mit Antworten Wurzelgleichungen