Substitution und biquadratische Gleichungen

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Dienstag, 14. Mai 2019 um 17:02 Uhr

Die Substitution der Mathematik lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

Eine Erklärung, was die Substitution überhaupt ist.
Beispiele wie man die Substitution einsetzt.
Aufgaben / Übungen um das Thema selbst zu üben.
Ein Video zu Gleichungen.
Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Um die Substitution zu verstehen ist es hilfreich, wenn ihr bereits einfache Gleichungen kennt und die PQ-Formel.

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Substitution Erklärung / Definition

Sehen wir uns ganz kurz an was eine Substitution ist und wozu man diese braucht. Eine Erklärung / Definition:

Hinweis:

In der Mathematik versteht man unter einer Substitution das Ersetzen eines Terms durch einen anderen Term. Substitutionen werden benötigt um biquadratische Gleichungen zu lösen, die Kettenregel bei der Ableitung einzusetzen oder bestimmte Integrale zu berechnen.

Sehen wir uns dazu einmal Beispiele zum besseren Verständnis an.

Beispiel 1: Gleichung umstellen

Stelle durch Substitution die folgende Gleichung nach der Variablen a um. Substituiere dabei auf der linken Seite alles bis auf a.

Substitution Beispiel 1 Aufgabe

Lösung:

Wir substituieren s = 3x : 8 auf der linken Seite. Dieses s bringen wir durch Subtraktion auf die rechte Seite der Gleichung und setzen für s alles wieder ein und vereinfachen.

Substitution Beispiel 1 Lösung

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Substituieren spezielle Gleichungen

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel für den Einsatz von Substitutionen an.

Beispiel 2: Biquadratische Gleichung

Die folgende Gleichung bezeichnet man als biquadratische Gleichung. Wo liegen die Nullstellen?

Substitution Beispiel 2 Aufgabe

Lösung:

Die Nullstellen erhält man, indem man y = 0 setzt und die Gleichung löst. Um die PQ-Formel anwenden zu können, teilen wir zunächst einmal die Gleichung durch 2. Wir erhalten dadurch 0 = x⁴ -3x² - 4. Im Anschluss führen wir die Substitution durch: Wir ersetzen u = x². Aus x⁴ wird dadurch u² und aus x² wird u.

Substitution Beispiel 2 Lösung Teil 1

Bei der Gleichung 0 = u² - 3u - 4 lesen wir p = -3 und q = -4 ab. In die allgemeine PQ-Formel setzen wir dies ein und berechnen u_1,2. Wer diese Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen nicht mehr versteht, wirft bitte einen Blick auf die PQ-Formel. Wir erhalten die Lösungen u₁ = 4 und u₂ = -1. Wir hatten die Substitution u = x² durchgeführt und machen dies nun rückwärts. Daher lösen wir 4 = x² und erhalten durch Ziehen der Wurzel x₁ = 2 und x₂ = -2. Aus -1 können wir keine Wurzel im reellen ziehen. Daher gibt es nur zwei Nullstellen.

Substitution Beispiel 2 Lösung Teil 2

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Aufgaben / Übungen Substituieren

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VIdeo Substitution für Gleichungen

Biquadratische Gleichungen

In diesem Video beschäftigten wir uns mit der Substitution um Gleichungen zu lösen. Als erstes Beispiel dient hierzu x7 – x3 = 6:x. Hier wird zunächst mit x multipliziert und die 6 auf die linke Seite geholt. Um daraus nun eine quadratische Gleichung zu machen wird eine Substitution durchgeführt. Diese kann mit der PQ-Formel gelöst werden. Im Anschluss muss die Substitution rückgängig gemacht werden. Als nächste Aufgabe soll 24x – 5 · 22x + 6 = 0 berechnet werden. Auch hier ist eine Substitution nötig, auch wenn diese etwas schwerer ist. Im Anschluss kann wieder die PQ-Formel zum Lösen der quadratischen Gleichung verwendet werden und im Anschluss die Rücksubstitution durchgeführt werden. Bei dieser Übung wird auch der Logarithmus verwendet. Dieses Video habe ich auf Youtube.com gefunden.

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Fragen mit Antworten Substitution / biquadratische Gleichungen

In diesem Abschnitt sehen wir uns typische Fragen rund um die Substitution und Gleichungen (insbesondere biquadratische Gleichungen) an.

F: Wann wird dieses Thema in der Schule behandelt?

A: Die Substitution und biquadratische Gleichungen sind Themen die spätestens in der 10. Klasse auf dem Lehrplan stehen. Zumindest einmal kurzfristig. Während man die Substitution in der Oberstufe noch für das Differenzieren und Integrieren von Funktionen benötigt, kommen die biquadratischen Gleichungen oder biquadratischen Funktionen danach nur noch selten oder nie mehr vor.

F: Wo finde ich weitere Informationen zur Berechnung von Nullstellen?

A: Beim Rechnen mit biquadratischen Gleichungen weiter oben wurden die Nullstellen der Funktion gesucht. Zu Nullstellen haben wir noch weitere Inhalte verfügbar, die wir euch hier kurz zeigen möchten:

PQ-Formel: Die PQ-Formel haben wir bereits weiter oben mitverwendet. Wir haben dazu aber noch einen eigenen Artikel mit einer ganzen Reihe an weiteren Aufgaben anzubieten. Diesen findet ihr unter dem Link PQ-Formel.
ABC-Formel: Auch zur ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel haben wir einen Extra-Artikel. Die Mitternachtsformel stellt eine Alternative zur PQ-Formel dar und wir haben auch hier noch viele Beispiele im Angebot. Diese findet ihr unter der ABC-Formel bzw. Mitternachtsformel.
Polynomdivision: Haben wir eine Funktion höheren Grades, dann reichen uns PQ-Formel oder ABC-Formel nicht mehr aus. Daher besprechen wir hier noch die Polynomdivision, um die Nullstellen zu berechnen. Siehe hierzu den Artikel Polynomdivision.

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