Ebene: Parameterform in Achsenabschnittsform

Die Umwandlung einer Ebene von Parametergleichung in Achsenabschnittsform sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

• Eine Erklärung, wie man Ebenen umwandelt.
• Beispiele für die Umwandlung von Parameterdarstellung in die Achsenabschnittsform.
• Aufgaben / Übungen zum Umwandeln von Ebenen.
• Ein Video zur Ebenenumwandlung.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Es ist hilfreich, wenn ihr bereits wisst, was eine Ebene in Parameterform ist. Falls nicht könnt ihr euch dies gerne noch ansehen. Ansonsten gehen wir hier an die Ebenenumwandlung von einer Parametergleichung in die Achsenabschnittsform.

Von Parameterform in Achsenabschnittsform Schritt 1

Man führt einen Zwischenschritt mit der Koordinatenform durch um von Parameterform in Achsenabschnittsform zu kommen. Der Plan für die Umwandlung lautet daher:

• Schritt 1: Parameterform in Koordinatenform umwandeln.
• Schritt 2: Koordinatenform in Achsenabschnittsform umwandeln.

Schritt 1: Parametergleichung in Koordinatengleichung

Im ersten Schritt haben wir eine Ebene in Parameterform.

Um diese als Koordinatengleichung zu erhalten führen wir diese Schritte durch:

• Wir bilden Zeile für Zeile jeweils eine Gleichung.
• Dabei haben wir x, y und z zu Beginn der Gleichungen und auf der rechten Seite tauchen r und s entsprechend auf.
• Die oberste Gleichung lösen wir nach r auf.
• Die mittlere Gleichung lösen wir nach s auf.

Durch unsere Berechnung erhalten wir r = x - 2 und s = 0,5y - 1,5. Dies setzen wir in die unterste Ausgangsgleichung mit z = 4 + 5r + 3s ein. Im Anschluss multiplizieren wir die Klammern vollständig aus und formen die Gleichung so um, dass die Zahl 10,5 auf der rechten Seite der Gleichung steht und alles andere auf der linken Seite der Gleichung.

Die Ebene in Koordinatenform wird mit 5x + 1,5y - z = 10,5 beschrieben.

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Von Parameterform in Achsenabschnittsform Schritt 2

Wir haben die Gleichung von Parameterform in Koordinatenform umgewandelt. Nun wandeln wir die Koordinatenform weiter um in die Achsenabschnittsform. Unsere Gleichung in Koordinatenform lautete:

Die Achsenabschnittsform sieht vor die Gleichung so umzuformen, dass wir "= 1" erhalten. In unserem Fall müssen wir daher eine Division mit 10,5 durchführen.

Damit hätten wir unsere Ebenendarstellung in Achsenabschnittsform gefunden. Noch einmal zur Erinnerung für spätere Aufgaben:

• Erst von einer Parametergleichung in eine Koordinatengleichung umwandeln.
• Danach von der Koordinatengleichung in eine Achsenabschnittsform umwandeln.

Fragen und Antworten zu diesem Thema sehen wir uns weiter unten noch an.

Aufgaben / Übungen Ebenengleichungen umwandeln

Aufgabe 1:

In diesem Bereich erhaltet ihr die Möglichkeit die Ebenengleichungen umzuwandeln.

• Wandele mit einem linearen Gleichungssystem die folgende Parametergleichung in eine Koordinatengleichung um. Wie lautet die Lösung?

• 3x + 1,5y + 3z = 10,5
• 2x + 3y - z = 10,5
• 5x + 1,5y - z = 10,5
• 5x + 1,5y - z = 8

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Video Parameter- in Koordinatenform

Fragen mit Antworten Parametergleichung in Achsenabschnittsform