Dreieck: Übersicht mit Eigenschaften und Formeln

Eine Übersicht zum Dreieck bekommt ihr hier. Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung zu Eigenschaften vom Dreieck und verschiedene Typen.
• Beispiele zu Formeln, Winkeln, Inkreis, Umkreis und mehr.
• Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
• Ein Video zum Dreieck.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema.

Tipp: Ihr solltet wissen, was Zentimeter und Meter sind. Wer davon keine Ahnung hat, sieht bitte in Längeneinheiten umrechnen rein.

Erklärung: Dreieck Typen und Eigenschaften

Sehen wir uns eine Definition zum Dreieck an:

Beispiel für ein Dreieck:

Aufbau / Eigenschaften Dreieck:

• Ein Dreieck hat drei Seiten, die meistens mit a, b und c bezeichnet werden.
• Die Eckpunkte hingegen werden oft mit A, B und C gekennzeichnet.
• Es entstehen drei Winkel im Dreieck, die meistens Alpha, Beta und Gamma genannt werden.
• Die Summe dieser drei Winkel - auch Innenwinkel genannt - beträgt 180 Grad.

Verschiedene Typen von Dreiecken:

Man unterschiedet verschiedene Typen von Dreiecken nach Längen der Seiten oder Winkel:

• Unregelmäßiges Dreieck: Haben alle drei Seiten des Dreiecks verschiedene Längen, dann nennt man dies unregelmäßiges Dreieck.
• Gleichschenkliges Dreieck: Sind zwei der drei Seiten des Dreiecks gleich lang, dann ist es ein gleichschenkliges Dreieck.
• Gleichseitiges Dreieck: Sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang, handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck.
• Stumpfwinkliges Dreieck: Ist einer der Innenwinkel größer als 90 Grad heißt es stumpfwinkliges Dreieck.
• Rechtwinkliges Dreieck: Weist das Dreieck einen Innenwinkel von exakt 90 Grad auf ist es ein rechtwinkliges Dreieck.
• Spitzwinkliges Dreieck: Sind alle Winkel im Dreieck kleiner als 90 Grad handelt es sich um ein spitzwinkliges Dreieck.

Innenwinkelsatz:

Rechnet man die drei Winkel im Dreieck zusammen, erhält man immer 180 Grad. Dies bezeichnet man als Innenwinkelsatz vom Dreieck oder auch Winkelsumme im Dreieck.

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Beispiele Dreieck Formel

In diesem Abschnitt sehen wir uns das Dreieck im Koordinatensystem an. Es geht um Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende sowie Inkreis und Umkreis und einige weitere Themen.

Dreieck ABC im Koordinatensystem:

In manchen Fällen erhält man zu einem Dreieck drei Punkte, um dieses zu zeichnen. Man nimmt sich dann ein Koordinatensystem, um das Dreieck einzuzeichnen. Beispiel: Gegeben sind die Punkte A (1/2), B (10/2) und C (3/10). Dies zeichnet man so ein, dass man für jeden Punkt eine kleine Markierung im Koordinatensystem macht. Für Punkt A wäre dies bei x = 1 und y = 2. Wer dabei noch Verständnisprobleme hat, sieht bitte in x-y-Koordinatensystem und Punkte rein. Ein Kästchen entspricht dabei einer Einheit.

Sind nur zwei Punkte gegeben, kann damit eine Gerade gezeichnet werden. Abstände im Koordinatensystem können entweder mit dem Geodreieck gemessen werden oder zum Beispiel bei einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.

Winkelhalbierende und Inkreis:

In jeder Ecke des Dreiecks kann man einen Winkel messen. Halbiert man mit Geodreieck oder Zirkel diesen Winkel, dann erhält man die Winkelhalbierende. Zeichnet man dies von allen Ecken aus erhält man zum Beispiel dieses Ergebnis:

Es entsteht ein gemeinsamer Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Diesen bezeichnet man zum Beispiel mit W. Diesen Punkt W kann man als Zentrum eines möglichst großen Kreises im Dreieck verwenden. Man bezeichnet diesen Kreis als Inkreis.

Mittelsenkrechte und Umkreis:

Wir halbieren die Länger jeder Seite eines Dreiecks. Dies erreichen wir, indem wir die Länge jeder Seite mit Geodreieck oder Lineal messen und auf halbem Weg eine Markierung setzen:

Im rechten Winkel dazu zeichnen wir die Mittelsenkrechten ein.

Es entsteht ein gemeinsamer Punkt. Diesen Punkt kann man als Mittelpunkt für einen Kreis nehmen. Dieser Kreis wird als Umkreis bezeichnet und geht durch alle Eckpunkte des Dreiecks.

Höhen Dreieck:

Fehlen uns noch die Höhen in einem Dreieck. Dazu geht von jeder Seite des Dreiecks unter einem rechten Winkel mit einer Gerade in die gegenüberliegende Ecke. Es entsteht ein gemeinsamer Punkt, der Höhenschnittpunkt.

Dreiecksungleichung:

Für die Längen der Seiten vom Dreieck gelten die Dreiecksungleichungen. Dabei sind zwei Seiten zusammen immer länger als die dritte Seite.

Fläche und Umfang Dreieck:

Es folgen noch die beiden Formeln für Fläche und Umfang von einem Dreieck. Den Umfang U erhält man, indem man die Länge aller drei Seiten addiert. Die Fläche erhält man, indem man die Länge einer Seite mit der Höhe darauf multipliziert und dies halbiert.

Weitere Erklärungen und Beispiele dazu gibt es unter Umfang Dreieck bzw. Fläche Dreieck.

Aufgaben / Übungen Dreieck

Aufgabe 1: Eine ganz einfache Frage zum Start. Wie viele Ecken hat ein Dreieck?

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Video Dreieck

Fragen mit Antworten Dreieck