Abstand: Ebene zu Punkt

Wie man den Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt berechnet, sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:

• Eine Erklärung wie man den Abstand zwischen Ebenen (verschiedene Formen) zu einem Punkt berechnet.
• Beispiele mit Koordinatenebene und Normalenform.
• Aufgaben / Übungen zum selbst Rechnen.
• Ein Video zum Thema.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet.

Tipp: Für das zweite Beispiel brauchen wir noch das Skalarprodukt für die Berechnung. Wer dieses noch nicht kennt kann gerne in den entsprechenden Artikel mit Video noch einmal reinsehen.

Abstand: Punkt zu Ebene bei Koordinatenform

Wichtig: Wir sehen uns gleich an wie man den Abstand zwischen Punkt und Ebene berechnet. Wir tun dies mit einer Ebene in Koordinatenform und im zweiten Beispiel mit einer Ebene in Normalenform. Liegen Ebenen nicht in diesen Formen vor, könnt ihr diese natürlich auf diese Formen umwandeln um dann den Abstand zu berechnen.

Beispiel 1:

Gegeben sei eine Ebene in Koordinatenform und ein Punkt. Wie groß ist der Abstand zwischen Ebene und Punkt?

Lösung:

Wir nehmen die nächste Gleichung und setzen in diese die Koeffizienten ein. Das heißt wir multiplizieren die Zahlen vor x, y und z mit dem x-Wert, y-Wert bzw. z-Wert vom Punkt. Im Nenner haben wir eine Wurzel bei der wir die Koeffizienten der Ebene jeweils quadrieren und addieren. Im Anschluss rechnen wir alles aus und erhalten einen Abstand von etwa 0,82.

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Abstand: Punkt zu Ebene bei Normalenform

Sehen wir uns noch ein Beispiel zum Abstand von Punkt zu Ebene an.

Beispiel 2: Abstand bei Normalform

Wir haben eine Ebene in Normalform und ein Punkt gegeben. Wie groß ist die Distanz zwischen Punkt und Ebene?

Lösung:

Für diesen Fall nehmen wir die folgende Gleichung.

Was setzen wir hier ein? Wir haben vorne den Punkt und ziehen davon die erste Klammer von der Ebene ab. Danach der Punkt für das Skalarprodukt gefolgt vom Normalenvektor. In den Nenner kommt die Länge des Normalenvektors.

Den Zähler vereinfachen wir ein wenig.

Wir rechnen im Anschluss das Skalarprodukt im Zähler aus und vereinfachen den Nenner ein wenig.

Wir berechnen einen Abstand von 5.

Aufgaben / Übungen Abstand Punkt zu Ebene

Aufgabe 1:

• Wie groß ist der Abstand zwischen Punkt und Ebene?

• h = 5
• h = 3
• h = 8
• h = 6

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Video Abstand Punkt zu Ebene

Fragen mit Antworten: Punkt und Ebene Abstand